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In der Mathematik ist ein invariantes Polynom ein Polynom P {\displaystyle P} auf einem Vektorraum (siehe Symmetrische Algebra), welches unter der Wirkung einer Gruppe G {\displaystyle G} auf dem Vektorraum V {\displaystyle V} invariant ist, also

P ( g x ) = P ( x ) {\displaystyle P(gx)=P(x)}

für alle g ∈ ∈ G , x ∈ ∈ V {\displaystyle g\in G,x\in V} erfüllt.

• Invariante Polynome in der Linearen Algebra

• Invariante Polynome in der Theorie der Lie-Gruppen

• Beispiel G =GL( n ,ℝ)

• Beispiel G = O ( n )

• Beispiel G =SO( n )

• Beispiel G =GL( n ,ℂ)

• Beispiel G = U ( n )

• Literatur

Sei K {\displaystyle \mathbb {K} } ein Körper und V = Mat ⁡ ⁡ ( n , K ) {\displaystyle V=\operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )} der Vektorraum aller n × × n {\displaystyle n\times n} -Matrizen über K {\displaystyle \mathbb {K} } . Die allgemeine lineare Gruppe GL ⁡ ⁡ ( n , K ) {\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} )} wirkt auf V {\displaystyle V} durch Konjugation:

g x := g x g − − 1 {\displaystyle gx:=gxg^{-1}} für g ∈ ∈ GL ⁡ ⁡ ( n , K ) , x ∈ ∈ Mat ⁡ ⁡ ( n , K ) {\displaystyle g\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} ),x\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )} .

Invariante Polynome sind in diesem Fall Funktionen P : Mat ⁡ ⁡ ( n , K ) → → K {\displaystyle P:\operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )\rightarrow \mathbb {K} } mit P ( g x g − − 1 ) = P ( x ) {\displaystyle P(gxg^{-1})=P(x)} für alle g ∈ ∈ GL ⁡ ⁡ ( n , K ) , x ∈ ∈ Mat ⁡ ⁡ ( n , K ) {\displaystyle g\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {K} ),x\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {K} )} .

Beispiele sind die Spur und die Determinante von Matrizen. Allgemeiner kann man (mit einer formalen Variable t {\displaystyle t} ) die Entwicklung

det ( t A + I ) = ∑ ∑ k = 0 n c k ( A ) t k {\displaystyle \det(tA+I)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}(A)t^{k}}

betrachten und erhält invariante Polynome c 0 , … … , c n {\displaystyle c_{0},\ldots ,c_{n}} . ( c 1 {\displaystyle c_{1}} ist die Spur und c n {\displaystyle c_{n}} die Determinante. Falls K {\displaystyle \mathbb {K} } algebraisch abgeschlossen ist, dann ist allgemein c k {\displaystyle c_{k}} das k-te elementarsymmetrische Polynom in den Eigenwerten von A {\displaystyle A} .)

Sei G {\displaystyle G} eine Lie-Gruppe und g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ihre Lie-Algebra. Ein Polynom auf g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} ist ein Polynom (mit reellen Koeffizienten) in den Basisvektoren von g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} , siehe Symmetrische Algebra.

Die Gruppe G {\displaystyle G} wirkt auf sich selbst durch Konjugation: c g ( h ) := g h g − − 1 {\displaystyle c_{g}(h):=ghg^{-1}} für alle h ∈ ∈ G {\displaystyle h\in G} . Das Differential von c g {\displaystyle c_{g}} ist eine lineare Abbildung

Ad ⁡ ⁡ ( g ) := D ( c g ) e : g → → g {\displaystyle \operatorname {Ad} (g):=D(c_{g})_{e}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}} ,

dies definiert die sogenannte adjungierte Darstellung der Gruppe G {\displaystyle G} auf dem Vektorraum g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} .

Ein invariantes Polynom ist ein Polynom auf g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} , welches invariant unter der adjungierten Wirkung ist, also

P ( Ad ⁡ ⁡ ( g ) X 1 , … … , Ad ⁡ ⁡ ( g ) X k ) = P ( X 1 , … … , X k ) {\displaystyle P(\operatorname {Ad} (g)X_{1},\ldots ,\operatorname {Ad} (g)X_{k})=P(X_{1},\ldots ,X_{k})} für alle g ∈ ∈ G , X 1 , … … , X k ∈ ∈ g {\displaystyle g\in G,X_{1},\ldots ,X_{k}\in {\mathfrak {g}}}

erfüllt. Die Algebra der invarianten Polynome wird mit I ∗ ∗ ( g ) {\displaystyle I^{*}({\mathfrak {g}})} bezeichnet.

In diesem Fall ist g = Mat ⁡ ⁡ ( n , R ) {\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Mat} (n,\mathbb {R} )} und A d ( g ) ( A ) = g A g − − 1 {\displaystyle Ad(g)(A)=gAg^{-1}} für g ∈ ∈ GL ⁡ ⁡ ( n , R ) , A ∈ ∈ Mat ⁡ ⁡ ( n , R ) {\displaystyle g\in \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} ),A\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {R} )} . Für k ∈ ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } sei P k 2 {\displaystyle P_{\frac {k}{2}}} das homogene Polynom vom Grad k {\displaystyle k} , dessen Wert auf ( A , … … , A ) {\displaystyle (A,\ldots ,A)} man als Koeffizienten vom Grad n − − k {\displaystyle n-k} im Polynom

det ( λ λ I − − 1 2 π π A ) = ∑ ∑ k P k 2 ( A , … … , A ) λ λ n − − k {\displaystyle \det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi }}A\right)=\sum _{k}P_{\frac {k}{2}}(A,\ldots ,A)\lambda ^{n-k}}

erhält, für alle A ∈ ∈ Mat ⁡ ⁡ ( n , R ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {R} )} . (Die Werte für die ( A , … … , A ) {\displaystyle (A,\ldots ,A)} legen ein Polynom bereits eindeutig fest.) Das Polynom P k 2 {\displaystyle P_{\frac {k}{2}}} heißt das k 2 {\displaystyle {\frac {k}{2}}} -te Pontrjagin-Polynom.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den P k 2 ∈ ∈ I k ( g l ( n , R ) ) {\displaystyle P_{\frac {k}{2}}\in I^{k}({\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} ))} erzeugt.

Für A ∈ ∈ o ( n ) {\displaystyle A\in {\mathfrak {o}}(n)} gilt A = − − A T {\displaystyle A=-A^{T}} , woraus zunächst det ( λ λ I − − 1 2 π π A ) = det ( λ λ I + 1 2 π π A ) {\displaystyle \det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi }}A\right)=\det \left(\lambda \mathbb {I} +{\frac {1}{2\pi }}A\right)} und damit dann P k 2 = 0 {\displaystyle P_{\frac {k}{2}}=0} für alle ungeraden k {\displaystyle k} folgt.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den P k ∈ ∈ I 2 k ( o ( n ) ) {\displaystyle P_{k}\in I^{2k}({\mathfrak {o}}(n))} erzeugt.

Falls n = 2 m {\displaystyle n=2m} gerade ist, hat man zusätzlich noch die Pfaffsche Determinante, die für A = ( a i j ) {\displaystyle A=(a_{ij})} mit a i j = − − a j i {\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}} definiert ist durch

P f ( A , … … , A ) = 1 2 2 m π π m m ! ∑ ∑ σ σ ∈ ∈ S 2 m s i g n ( σ σ ) a σ σ ( 1 ) σ σ ( 2 ) … … a σ σ ( 2 m − − 1 ) σ σ ( 2 m ) {\displaystyle Pf(A,\ldots ,A)={\frac {1}{2^{2m}\pi ^{m}m!}}\sum _{\sigma \in S_{2m}}sign(\sigma )a_{\sigma (1)\sigma (2)}\ldots a_{\sigma (2m-1)\sigma (2m)}} .

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den Pontrjagin-Polynomen P k ∈ ∈ I 2 k ( s o ( n ) ) {\displaystyle P_{k}\in I^{2k}({\mathfrak {so}}(n))} und – falls n {\displaystyle n} gerade ist – der (auch als Euler-Polynom bezeichneten) Pfaffschen Determinante P f ∈ ∈ I n 2 ( s o ( n ) ) {\displaystyle Pf\in I^{\frac {n}{2}}({\mathfrak {so}}(n))} erzeugt.

Für k ∈ ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } sei C k 2 {\displaystyle C_{\frac {k}{2}}} das komplex-wertige homogene Polynom vom Grad k {\displaystyle k} , dessen Wert auf ( A , … … , A ) {\displaystyle (A,\ldots ,A)} man als Koeffizienten vom Grad n − − k {\displaystyle n-k} im Polynom

det ( λ λ I − − 1 2 π π i A ) = ∑ ∑ k C k ( A , … … , A ) λ λ n − − k {\displaystyle \det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi i}}A\right)=\sum _{k}C_{k}(A,\ldots ,A)\lambda ^{n-k}}

erhält, für alle A ∈ ∈ Mat ⁡ ⁡ ( n , C ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n,\mathbb {C} )} . Das Polynom C k {\displaystyle C_{k}} heißt das k {\displaystyle k} -te Chern-Polynom. Die Chern- und Pontrjagin-Polynome hängen über die Gleichung i k C k ( A , … … , A ) = P k 2 ( A , … … , A ) {\displaystyle i^{k}C_{k}(A,\ldots ,A)=P_{\frac {k}{2}}(A,\ldots ,A)} zusammen.

Die Algebra der komplex-wertigen invarianten Polynome wird von den C k ∈ ∈ I k ( g l ( n , C ) ) {\displaystyle C_{k}\in I^{k}({\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} ))} erzeugt.

Für A ∈ ∈ u ( n ) {\displaystyle A\in {\mathfrak {u}}(n)} ist A = − − A H {\displaystyle A=-A^{H}} und damit det ( λ λ I − − 1 2 π π i A ) = det ( λ λ I − − 1 2 π π i A ) ¯ ¯ , {\displaystyle \det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi i}}A\right)={\overline {\det \left(\lambda \mathbb {I} -{\frac {1}{2\pi i}}A\right)}},} deshalb sind die Chern-Polynome auf u ( n ) {\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)} reell-wertig.

Die Algebra der invarianten Polynome wird von den C k ∈ ∈ I k ( u ( n ) ) {\displaystyle C_{k}\in I^{k}({\mathfrak {u}}(n))} erzeugt.

• Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu: Foundations of differential geometry. Vol. I, II. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 15 Vol. II Interscience Publishers John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney 1969.

• Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1978. ISBN 3-540-08663-3